Kadraba se narodil v Řevničově na Rakovnicku (je čestným občanem města) a je odchovancem Rakovníka. Po vojně hrával ve Spartě a z ní v roce 1957 přestoupil do SONP Kladno a odtud do pražské Slavie (1965). Za ni do roku 1967 odehrál 114 utkání a vsítil v 46 branek. Celkem nastřílel 117 ligových gólů.

Nezapomenutelný je jeho výkon ze semifinálového duelu na MS 1962, kde jednu branku dal a na jednu krásně přihrál. Svěřenci Rudolfa Vytlačila vyhráli 3:1 a zastavila je až ve finále Brazílie (3:1).

Reprezentační dres oblékl celkem sedmnáctkrát.

V roce 1967 odešel pracovat do Vídně. Po pětiletém legálním pobytu se však nevrátil zpět a v nepřítomnosti byl odsouzen na roky odnětí svobody. Ve Vídni žije Kadraba dodnes.

V Kladně byl jako střelec mnoho let nepřekonatelný. Ve 360 sehraných zápasech nastřílel 299 gólů! Vmoderním Sporthotelu Sletiště, kde jsou pokoje pojmenovány po slavných kladenských sportovcích, je jeden pokoj věnován i jemu. 

Josefu Kadrabovi gratulujeme!